图中所示，抛物线y=-x^2+2mx+m+2的曲线与x轴相交于点A（-1，0）以及另一点B，存在一条位于x轴上方并与x轴平行的直线EF，该直线与抛物线相交于两点E和F，其中E点位于F点的左侧。从E点和F点分别向x轴作垂线，垂足分别标记为M和N。
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
若将BN设为t，那么矩形EMNF的周长C，可以表示为C与t之间的一个函数关系式。
当矩形EMNF的周长达到10单位长度，将ENM沿着EN方向进行折叠，此时点M会落在坐标平面上形成新的点M'，我们需要判断这个新形成的点M'是否位于抛物线之上，并给出相应的判断依据。
在图1中，抛物线的最高点位于点A（0，1），矩形CDEF的顶点C和F位于该抛物线之上，而D和E则位于x轴上。矩形CF的边与y轴相交于点B（0，2），并且该矩形的面积是8。
（1）求此抛物线的解析式；
如图2所示，若P点位于抛物线上且与点A不同，则将PB线段延长，使其与抛物线相交于点Q。接着，从点P和点Q分别垂直于x轴作垂线，这两条垂线的交点分别标记为S和R。
①求证：PB=PS；
②判断SBR的形状；
尝试寻找在线段SR上是否存在一个点M，该点使得由点P、S、M构成的三角形与由点Q、R、M构成的三角形相似。如果这样的点M存在，请确定其具体位置；如果不存在，请阐述相应的理由。
在矩形ABCD中，边AB的长度为3厘米，边BC的长度为4厘米。P和Q是分别在BD和BC上的动点。当点P从点D沿DB方向以1厘米每秒的速度匀速移动时，点Q也从点B沿BC方向以相同的速度匀速移动至点C。我们设P和Q的移动时间为t秒，其中0小于t且t不超过4秒。
给出PBQ的面积S（平方厘米）与时间t（秒）的函数关系式，求出t取何数值时，S达到最大值，并计算该最大值是多少。
（2）当t为何值时，PBQ为等腰三角形？
PBQ能否构成一个等边三角形？若条件允许，请计算t的具体数值；若不符合条件，请阐述原因。
图中所示，直线y=-x+3与x轴、y轴各有一个交点kaiyun.ccm，分别命名为B和C。存在一条抛物线y=ax^2+bx+c，它经过点B和点C，并与x轴还有一个交点A。此外，该抛物线的顶点为P，其对称轴为直线x=2。
（1）求A点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
请探究在x轴上是否存在一个点Q，这个点使得由点P、B和Q构成的三角形与三角形ABC相似。如果这样的点Q存在，请给出它的具体坐标；如果不存在，请阐述相应的理由。
在等腰梯形ABCD中，AB与DC平行，且∠A的度数为45°，AB的长度为10厘米，CD的长度为4厘米。存在一个等腰直角三角形PMN，其斜边MN的长度也为10厘米。点A与点N恰好重合，且MN与AB在同一直线上。当等腰梯形ABCD保持静止时，等腰直角三角形PMN沿着AB所在的直线，以每秒1厘米的速度向右移动，直至点N与点B完全重合。
在PMN这个等腰直角三角形随移动过程进行时，它与等腰梯形ABCD的重叠区域形状经历了从______形到______形的转变。
当等腰直角三角形PMN发生移动，其位移为x（单位：秒）时，该三角形与等腰梯形ABCD所形成的重叠区域面积记为y（单位：平方厘米），现需探究y与x之间的具体函数关系。
当x的值为4秒时，需要计算等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD相交区域的面积。
（2006•临安市）如图，OAB是边长为2+
这是一个等边三角形，其顶点O位于坐标原点，顶点B位于y轴的正半轴。将三角形OAB沿边OB折叠，使得顶点A与边OB重合，该重合点记作A'。折叠过程中形成的折痕被称为EF。
（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；
（2）当A′E∥x轴，且抛物线y=-
当抛物线经过点A′和E时，需要求解的是抛物线与x轴相交的点的具体坐标值。
当点A′沿着OB线段移动，且不与点O或点B相重合时云开·全站体育app登录，我们需要探讨是否存在一种情况，使得三角形A′EF能够形成直角。如果存在这样的可能性，请计算此时点A′的具体位置坐标；如果不存在，请阐述相应的理由。
在图中，我们可以观察到抛物线y=ax^2+bx+c（其中a不等于0）穿过了三个点A（-2，0），B（0，-4），以及C（2，-4）。此外，这条抛物线还与x轴存在另一个交点，我们称之为E点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点D的坐标和对称轴；
（3）求四边形ABDE的面积．
在平面直角坐标系中，我们可以看到一个矩形OABC，其中点A和点B的坐标分别是（6，0）和（6，8）。两个动点M和N同时从点O和点B出发，它们的移动速度均为每秒1个单位。动点M沿着OA方向向点A移动，而动点N则沿着BC方向向点C移动。从点N出发，我们作一条垂线NP垂直于BC，这条垂线与AC相交于点P。此时，我们连接MP。假设动点M和N已经运动了x秒钟。
（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）
（2）试求MPA面积的最大值，并求此时x的值；
请尝试分析：在何种条件下，该多边形MPA会呈现出等腰三角形的形态？你能识别出几种不同的情形吗？请详细记录你的研究结论。
如图所示，抛物线方程为y=px²-1，它与x轴和y轴分别相交于点A、B、C。点D的坐标是（0，-2）。在三角形ABD中，ABD是一个直角三角形。直线l经过点D，并且与x轴平行。
（1）求p的值；
若点Q位于抛物线上，需探究以点Q作为圆心、以QO作为半径所画的圆与直线l之间的空间位置关系，并阐述相应的判断依据。
是否存在一条直线，它通过点D，并且这条直线与抛物线相交后形成的线段，恰好是点D到直线与抛物线交点之间的两条线段的比例中项？若这样的直线存在，请给出它的解析表达式；若不存在，请阐述原因。
在图1中，我们选取了两块角度均为30°的直角三角板RtDEF和RtABC，并将它们进行叠加。叠加过程中，确保DE边与AB边重合，同时DE边恰好穿过点C。根据题目条件，我们知道AC和DE的长度均为6。
将图1中的DEF图形以点D为轴心，按照逆时针方向进行旋转，确保DF边与AB边不重叠，旋转后，DF边与AC边在点P处相交，DE边与BC边在点Q处相交，具体情形如图2所示。
①求证：CQD∽APD；
②连接PQ，设AP=x，求面积SPCQ关于x的函数关系式；
将图1中的DEF图形沿左侧方向进行平移操作，确保点A与点D不处于同一位置，此时边FD与FE将分别与AC和BC相交，形成交点M和N。设定AM的长度为t开yun体育app官网网页登录入口，具体情形如图3所示。
确定BEN三角形的类型，同时用包含字母t的代数表达式来描述边BE和BN的长度。
②连接MN，求面积SMCN关于t的函数关系式；
在旋转DEF的过程中，我们需要寻找AC线段上的一个点P，探讨是否存在这样的点P，使得SPCQ的长度与通过平移得到的SMCN的长度相等。请阐述你的依据。
