3。将其直接推到t = v/g±sqt（（（v2-2hg）/g2）（V和g后的2个平方）的点，也就是说，v2
）
计算后，我们可以知道，当高度为3米时，有两个时间点可以达到此高度：球向上移动的时间为0.38秒，球向下移动的时间为1.62秒。但是，如果高度等于10，结果是什么？根据上述方程式，我们可以发现负数有一个开放的正方形操作，我们知道这绝对是不现实的。
第一个使用这种不寻常公式的人是意大利数学家Girolamo Cardano（1501-1576）。两个世纪后，伟大的德国数学家卡尔·弗里德里希·加斯（Carl Friedrich Gause（1777-1855））提出了以后的应用程序铺平了多个数字的概念，他代表了这样的复杂数字：复数数字包括两个部分：实数：实数：实数：实数和假想的数字，以及虚构数中的根号负1由i表示（在这里我们使用j表示它，因为i在机电中，电流的含义为）。
我们可以将水平坐标表示为实数，而垂直坐标为假想数，因此坐标中每个点的向量可以用复数表示，如下图所示：
上图中的三个ABC向量可以表示为以下等式：
A = 2 + 6J
B = -4 - 1.5J
C = 3 - 7J
表达这一点的便捷方法是，使用符号可以组合两个难以连接的数字。不便之处在于，我们必须区分哪个是一个真实数字，哪个是一个虚构的数字。我们通常使用re（）和im（）表示两个部分：真实和虚构数字，例如：
re a = 2 im a = 6
re b = -4 im b = -1.5
re c = 3 im c = -7
补充，减法，乘法和除法也可以在复数之间执行：
这里有一个特殊的观点，即J2等于-1。上述第四个表达式的计算方法是同时将分子和分母乘以C -DJ，以便可以消除分母中的J。
复数还符合代数操作中的换向，组合和分配定律：
AB = BA
（a + b） + c = a +（b + c）
A（B + C）= AB + AC
2。复数的极性坐标表示
矩形坐标的上述用途表示复数。实际上，更常用极性坐标的表示方法，如下图所示：
上图中的M是数量产物（幅度），它表示从原点到坐标点的距离，θ是相位角，它表示从X轴正向到某个矢量的角度。以下四个方程是计算方法：
我们还可以通过以下公式将极坐标转换为矩形坐标：
a + jb = m（cosθ + jsinθ）
在上述方程中，左侧是矩形坐标表达式，右侧是极坐标表达式。
还有一个更重要的方程式 - 欧拉方程（Euler，著名的瑞士数学家，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler），1707-1783）：
ejx = cos x + j sin x
该方程可以从以下系列转换中证明：
右上方的两个方程是cos（x）和sin（x）的泰勒系列。
通过这种方式，我们可以表示复数数的表达为指数：
a + jb = mejθ（这是复数数的两个表达式）
指数形式是数字信号处理中数学方法的支柱。也许是因为使用指数形式乘以和划分复数非常简单：
3。复数数是数学分析的工具
为什么使用复数数字？实际上，它只是一种工具，就像指甲和锤子之间的关系一样，复数就像锤子，作为使用工具。我们表达了要作为复数形式解决的问题（因为某些问题更方便以复数形式运行），然后对复数进行操作，最后将它们转换回它们以获取我们需要的结果。
有两种使用复数的方法。一种是简单地替换上述矢量表达方法和我们在上一节中讨论的真实场DFT，另一个是一种更高级的方法：数学等等。复杂形式使用数学等效方法，但我们不会在此处讨论此方法。在这里，我们将首先研究以替代复数的问题。
用复数替换的基本思想是：将物理问题转换为要分析的复数形式，其中简单地添加了一个复杂的符号J。返回原始物理问题时，只需删除符号j。 。
要理解的一件事是，并非所有问题都可以用复数数字来表达。必须查看是否适用具有复数数的分析。有一个例子是，很明显，使用复数数字来替换原始问题的表达显然是谬论：假设一盒Apple为5美元，一盒Oranges为$ 10，因此我们将其表示为5+10J。一个星期，您购买了6盒苹果和2盒橙子，我们将其表示为6 + 2J，最后计算出所花费的总数为（5 + 10J）（6 + 2J）（6 + 2J）= 10 + 70J，结果是我花了10美元购买苹果，购买橙子的$ 70。该结果显然是错误的，因此复数形式不合适用于解决此问题。
4。使用复数代表余弦函数表达式
对于M cos（ωt +φ）和cos（ωt） + b sin（ωt）表达式（以复数表达的表达）等表达式，它们可以非常简洁，并且笛卡尔坐标形式可以如下转换：
在上面的公式中，余弦振幅A被转换为生成A，正弦振幅B的相对数量被转化为生成B：A A，B -B，但应注意，这不是方程，而是一个方程只是另一种形式。
对于极地坐标表格，您可以按以下方式转换它们：
在上述公式中，mm，θφ。
在这里，假想数部分采用了负数的形式，主要与复杂的傅立叶变换表达式一致。对于代表积极余弦的这种替代方法，符号的转换是无益的，但是符号在更换时始终将更改为更先进。平衡的等效转换保持正式一致。
在离散信号处理中，使用复杂形式代表正弦波是一种常见技术。这是因为通过使用复数执行各种操作获得的结果与原始的正弦余弦操作结果一致。但是，我们必须谨慎使用复杂的操作，例如加法，减法，乘法和除法，某些操作不可用。例如，添加两个正弦信号并以复杂形式添加，所获得的结果与替换前直接添加的结果相同，但是如果将两个正弦信号乘在一起，则乘法的结果在复杂形式中是不同的。幸运的是，我们严格地定义了正弦孔复合形式的操作条件：
1。所有参加操作的余弦的频率都必须相同；
2。操作必须是线性的。例如，可以添加或减去两个正弦信号，但不能乘以或划分。诸如信号的扩增，衰减，高和低通滤波等系统是线性的，例如正方形，缩短和限制。它不是线性的。应记住，卷积和傅立叶分析只能在线性操作中进行。
下图是相量转换的一个示例（我们将正弦波或余弦波变成称为相sor变换的复杂形式，相量转换）。连续信号波通过线性处理系统产生另一个信号波。从计算过程中，可以看出，复数形式使计算变化非常简洁：
我们在第2章中描述的真实形式的傅立叶变换也是替代形式的复杂变换，但是应该指出的是，它不是一个复杂的傅立叶变换，而只是替代品。下一章，也就是说，在第4章中，我们将知道复杂的傅立叶变换是一个更高级的变换，而不是这种简单的替代形式。
第4章：复数形式离散傅立叶变换
复杂形式中离散的傅立叶变换非常巧妙地使用了复杂方法，从而使傅立叶变换更加自然和简洁。它不仅使用替代方法使用复数数字，而且还从复数的角度完全分析了问题。一件事与Real DFT完全不同。
1。表示余弦函数作为复杂形式
Euler方程可用于表示正弦余弦函数作为复杂形式：
cos（x）= 1/2 EJ（-X） + 1/2 EJX
sin（x）= J（1/2 EJ（-X）-1/2 EJX）
从这个方程式，我们可以看到，如果正余弦函数表示为复杂数，它们将成为由正频率和负频率组成的正余弦波。相反，由正频率和负频率组成的正余弦波可以通过复数形式来表达。
我们知道，在实际的傅立叶变换中云开·全站体育app登录，它的频谱为0〜π（0〜n/2），但不能表示-π〜0的频谱。可以预见的是，如果正余弦表示为复杂形式，可能包括负频率。
2。将转换之前和之后的变量视为复杂形式
傅立叶变换将原始信号x [n]视为由复数代表的信号，其中实际零件代表原始信号值，虚构部分为0，而转换结果x [k]也是一种复杂形式，也是一个复杂形式，但是，这里的零件值是重视的。
在这里，我们应该从复数的角度看原始信号，这是理解复杂形式傅立叶变换的关键（如果您学习了复杂的变量函数，则可以更好地理解，即将x [n]视为一个复杂的变量，然后将其视为该复杂变量与实数相同）。
3。对复数执行相关算法（正向傅立叶变换）
从实际的傅立叶变换中，我们可以知道我们可以以正交函数形式将原始信号乘以信号，然后计算总和，最后我们可以获得原始信号中包含的正交函数信号的组件。
现在，我们的原始信号已成为一个复杂的数字，我们想要获得的当然是复数数字的信号组成部分。我们可以以复杂数字的形式将其乘以正交函数吗？答案是肯定的。余弦函数是所有正交函数。在成为以下形式的复杂数字之后，它仍然是一个正交函数（可以从正交函数的定义中很容易证明这一点）：
cos x + j sin x，cos x - j sin x，…
在这里，我们使用上面的第二个方程来总结相关性。为什么使用第二个方程式？稍后，我们将知道正弦函数被转换为假想数并获得负正弦函数。在这里，我们将添加一个负符号kaiyun全站网页版登录，以使最终结果是正弦波。基于此，我们可以轻松地以复杂形式获得DFT正向转换方程：
该公式可以轻松获得Euler转换公式：
实际上，为了表达表达，我们使用Euler Transformation。解决问题时，我们仍然更频繁地使用正弦余弦表达式。
对于上述方程式，我们需要清楚以下方面（以及与实际DFT有什么不同）：
1。x[k]和x [n]是复数，但是x [n]的虚构部分由0组成，实际部分代表原始信号。
2。k的值范围为0〜n-1（也可以表示为0〜2π），其中0〜n/2（或0〜π）是正频率部分。
N/2〜N-1（π〜2π）是负频率部分。由于正余函数的对称性，我们表示–π〜0为π〜2π，这是为了计算便利。
3。J是一个不可分割的组件，就像方程中的变量一样，它不能随便删除，含义在删除后将完全不同，但是我们知道在实际DFT中，J只是一个符号。删除J，整个方程式的含义保持不变；
4。下图是连续的信号频谱，但是离散频谱也相似，因此它不会影响我们对问题的分析：
上述频谱图将负频率向左延伸，以迎合我们的思维习惯，但实际上
现在，我们通常将其移动到积极的频谱后面。
从上图可以看出，根据先前一个等式中的一个比例系数为1/n（或1/2π），而不是2/n。这是因为现在频谱扩展到2π，但是在下面的描述中，可以更清楚地看到添加正频率和负频率2/n，然后恢复为真实DFT的形式。
由于复杂的DFT生成了一个完整的频谱，因此原始信号中的每个点由两个频率组成，即正和负频率，因此频谱中每个点的带宽相同，并且是1/n。与真实的DFT相比，两端的带宽比其他点要少。复杂DFT的频谱特性是周期性的：-n/2〜0与N/2〜N-1相同，而实域频谱甚至对称。 （代表余弦波谱），虚谱是奇数对称性（代表正弦波谱）。
4。反向傅立叶变换
假设我们已经获得了复杂的频谱x [k]，现在我们需要将其还原到复杂的原始信号x [n]开yun体育app官网网页登录入口，当然我们应该将x [k]乘以一个复杂的数字，然后将其汇总，然后将其汇总，最后获取原始信号x [n]。复数乘以x [k]首先使我们想起上面计算的复数：
cos（2πkn/n） - j si（2πkn/n），
但是，负符号实际上是在执行逆傅立叶变换时使正弦函数成为一个正符号。由于虚构数字J的操作专业，因此应该是正的正弦函数将成为负面的正弦函数（我们从以下内容中推断出您会看到此功能），因此，减去符号只是为了纠正符号的效果。执行逆DFT时，我们可以删除负符号，因此我们获得了类似的DFT变换方程：
x [n] = x [k]（cos（2πkn/n） + j sin（2πkn/n））
现在我们分析了这个方程式，我们会发现该方程实际上可以获得与实际数字的傅立叶变换相同的结果。让我们首先转换x [k]：
x [k] = re x [k] + j im x [k]
这样，我们可以再次转换x [n]，例如：
x [n] =（re x [k] + j im x [k]）（cos（2πkn/n） + j sin（2πkn/n））
=（re x [k] cos（2πkn/n） + j im x [k] cos（2πkn/n） + j re x [k] sin（2πkn/n）-Im x [k] sin（2πkn/n ））
=（re x [k]（cos（2πkn/n） + j sin（2πkn/n）） + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------（1）
im x [k]（-sin（2πkn/n） + j cos（2πkn/n）））---------------------（2）
目前，我们将原始方程式分为两个部分。第一部分乘以真实域中的频谱，第二部分乘以虚拟域中的光谱。根据频谱图，我们可以知道re x [k]是一个均匀的对称变量，而im x [k]是一个奇数对称变量，即
re x [k] = re x [-k]
IM X [K] = -IM X [-K]
但是K的范围为0〜N-1、0〜N/2表示正频率，而N/2〜N-1表示负频率。为了方便表达，我们使用n/2〜n -1表示-k，因此在从0到n -1的求和过程中，有公式（1）和（2）的k和-k的总和，对于公式（1），有：
re x [k]（cos（2πkn/n） + j sin（2πkn/n）） + re x [-k]（cos（-2πkn/n） + j sin（-2πkn/n））
根据甚至对称和三角函数的属性，简化了上述公式以获得：
re x [k]（cos（2πkn/n） + j sin（2πkn/n）） + re x [k]（cos（2πkn/n）-j sin（2πkn/n））
该公式的最终结果是：
2 re x [k] cos（2πkn/n）。
考虑到re x [k]方程中有比例系数1/n，将1/n乘以2，这是否与实际DFT中的方程相同？
对于公式（2），使用相同的方法，我们还可以得到以下结果：
-2 im x [k] sin（2πkn/n）
请注意，上述方程式的前面有一个负符号，这是由虚构数字转换的特殊性引起的。当然，我们不能将负符号的正弦功能添加到余弦中。幸运的是，我们在上一个示例中使用了cos（2πkn/n）。 - j sin（2πkn/n）执行相关计算，结果是IM x [k]中的负符号，因此最终结果中正弦函数中没有负符号。这就是为什么在执行相关计算时，假想部分中使用负面迹象的原因（我认为这可能是复数DFT的美，这使人们感觉像是拼凑在一起的）。
从上面的分析中，我们可以看到，在执行反向变换时，通过实际傅立叶变换和复杂的傅立叶变换获得的结果是相同的，但是它们是不同的路径和相同的目的地。本文结束了。 （7月，dznlong）
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